Resumo Resultados bem conhecidos pela comunidade atuarial sobre expressões de forma fechada para esperança de vida de Gompertz e Gompertz-Makeham para uma pessoa de idade x ainda estão sendo redescobertos de forma independente nos dias atuais. Esta nota visa fornecer algum reconhecimento aos resultados anteriores sobre expressões de forma fechada para expectativa de vida de Gompertz e Gompertz-Makeham, especialmente no campo das ciências atuariais, na esperança de estimular a interdisciplinaridade e fornecer o pano de fundo para novos desenvolvimentos, em especial porque a derivação de expressões de forma fechadas para expectativa de vida (e anuidades) com base em leis de mortalidade despertam o interesse de várias áreas, como ciências atuariais, biologia, demografia, estatística, entre outras.

Abstract Results well known in the actuarial community about closed-form expressions to Gompertz and Gompertz-Makeham life expectancies for a person aged x are still being independently rediscovered to this day. This note seeks to acknowledge previous results about closed-form expressions to Gompertz-Makeham life expectancies, especially in the actuarial science field, hoping to stimulate interdisciplinarity and provide the background for further developments, especially since the derivation of closed-form expressions for life expectancy (and annuities) based on particular mortality laws are matters of interest for multiple fields such as actuarial science, biology, demography, statistics among others.

Resumen Los resultados bien conocidos por la comunidad actuarial sobre las expresiones de forma cerrada de las esperanzas de vida de Gompertz y Gompertz-Makeham para una persona de edad x todavía se están redescubriendo de forma independiente en la actualidad. Esta nota pretende reconocer algunos resultados anteriores sobre expresiones cerradas para la esperanza de vida de Gompertz y Gompertz-Makeham, en especial en el campo de las ciencias actuariales, con la esperanza de fomentar la interdisciplinariedad y proporcionar el telón de fondo para futuros desarrollos, sobre todo desde que la derivación de expresiones cerradas para la esperanza de vida (y anualidades) basado en leyes de mortalidad despertó el interés de varias áreas, como las ciencias actuariales, biología, demografía, estadística, entre otras.

Resumo Idealmente, a expectativa de vida deveria ser uma função decrescente da idade. Quando tal fato não é observado, a situação é conhecida como o paradoxo da tábua de mortalidade. Este artigo investigou o momento (e métricas de saúde neste momento) em que o Brasil e suas unidades da federação (UF) superaram (ou são esperados superar) este paradoxo. Os dados foram obtidos do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística e continham 3.416 tábuas de mortalidade abreviadas e específicas por sexo, de 2000 até 2060. No nível nacional, mulheres e homens superaram o paradoxo em 2016 e 2018, respectivamente. Contudo, quando foram examinadas as UFs separadamente, grande heterogeneidade foi observada. Pela análise de decomposição da mudança no tempo da diferença entre a expectativa de vida ao nascer e na idade de um ano, observamos que o Brasil e a maioria de suas UFs esperam ter ambas as mudanças decrescentes ao longo do tempo e a mudança total é esperada ser decrescente e maior do que zero. Entretanto, para alguns estados do Nordeste, a mudança total é esperada passar de um valor positivo para um negativo; e para dois estados do Norte a mudança total esperada não deve ser nem crescente nem decrescente. Em uma perspectiva de planejamento público, entendemos que alcançar o balanceamento das tábuas de mortalidade é um objetivo a ser perseguido, especialmente porque ter uma tábua desbalanceada significa que a expectativa de vida ao nascer ainda é fortemente influenciada pelos altos níveis de mortalidade infantil. Assim, este conhecimento pode ajudar planejadores a definirem estratégias apropriadas para acelerar o processo de balanceamento e reverter cenários de desigualdade.

Abstract Ideally, life expectancy should be a decreasing function of age. When this fact is not observed, this situation is known as the life table paradox. This paper investigated the timing (and health metrics at the time) in which Brazil and its Federation Units (FU) overcame (or are expected to overcome) this paradox. The data were gathered from the Brazilian Institute of Geography and Statistics and contained 3,416 sex-specific abridged life tables, from 2000 to 2060. At national level, females and males overcame the paradox in 2016 and 2018, respectively. However, when the FU were examined separately, much heterogeneity was observed. Through the decomposition analysis of the change over time in the difference between life expectancy at birth and at age one, we found that Brazil and most of its FU are expected to have both changes declining over time and the total change is expected to be decreasing and greater than zero. Nevertheless, for some Northeastern states the total change is expected to pass from a positive to a negative value; and for two Northern states the total change is expected to be neither decreasing nor increasing. In a public planning perspective, we understand that achieving balancing in the life tables is a goal to be pursued, especially because having an imbalanced table means that life expectancy at birth is still strongly influenced by high levels of infant mortality. Therefore, this knowledge could help planners to properly define strategies to accelerate the balancing process and revert unequal scenarios.

Resumen Idealmente, la esperanza de vida debería ser una función decreciente de la edad. Cuando esto no sucede, se conoce al hecho como la paradoja de la tabla de mortalidad. Este artículo investigó el momento —y las medidas de salud en ese momento— en que Brasil y sus unidades de la federación UF) superaron —o se espera que superen— esta paradoja. Los datos fueron tomados del Instituto Brasileño de Geografía y Estadística (IBGE) y contenían 3416 tablas de vida abreviadas oficiales y específicas por sexo, desde 2000 hasta 2060, para Brasil y sus 27 UF. A el ámbito nacional, mujeres y hombres habían superado la paradoja en 2016 y 2018, respectivamente. Sin embargo, cuando las UF se examinaron por separado, se observó una gran heterogeneidad. Mediante el análisis de descomposición del cambio a lo largo del tiempo en la diferencia entre la esperanza de vida al nacer y al primer año de edad, encontramos que se espera que Brasil y la mayoría de sus UF presenten cambios que disminuyan con el tiempo y se espera que el cambio total disminuya y sea mayor que cero. No obstante, para algunos estados del noreste, se espera que el cambio total se oriente desde un valor positivo hacia uno negativo, así como para dos estados del norte el cambio total esperado no debería aumentar ni disminuir. En una perspectiva de planificación pública, entendemos que lograr una tabla de mortalidad equilibrada es un objetivo a perseguir, especialmente porque tener una tabla desequilibrada significa que la esperanza de vida al nacer sigue estando fuertemente influida por los altos niveles de mortalidad infantil. Por lo tanto, este conocimiento puede ayudar a los planificadores a definir estrategias adecuadas para acelerar el proceso de equilibrio y revertir los escenarios de desigualdad.

Resumo O estudo objetivou aplicar modelos atuariais (dinâmicos e estáticos) para calcular as alíquotas previdenciárias equilibradas para o benefício de aposentadoria programada (na idade mínima) para o Regime Geral de Previdência Social, tomando como base o texto original e o substitutivo da reforma proposta pelo Governo Michel Temer. Mesmo ante os aumentos regulares da expectativa de vida e o caráter de longo prazo das análises, os estudos nacionais sobre previdência tipicamente se apoiam na hipótese de mortalidade estática. A relevância deste estudo é evidenciada devido às mudanças demográficas, particularmente o aumento da expectativa de vida, vivenciadas pela população brasileira nas últimas décadas e que põem em dúvida a sustentabilidade do sistema previdenciário nacional. O uso de modelos atuariais dinâmicos possibilita discussões mais acuradas sobre o futuro da previdência, além de contribuir para uma literatura nacional ainda escassa. Foram aplicados modelos atuariais estáticos e dinâmicos para um indivíduo representativo, ajustando tábuas de mortalidade das Nações Unidas entre 1950 e 2100. Constatou-se que as alíquotas atuarialmente justas calculadas pelo modelo atuarial dinâmico são tipicamente maiores do que aquelas obtidas por meio do modelo estático, sobretudo para as mulheres. Espera-se que tal diferença aumente à medida que os ganhos na expectativa de vida passem a sofrer maior influência da redução da mortalidade nas idades mais avançadas. Adicionalmente, pelo modelo dinâmico, sendo aprovada a reforma da previdência (pelo texto original ou substitutivo), há indícios de que as alíquotas cobradas atualmente seriam demasiadas para os homens. Por sua vez, essas seriam demasiadas para as mulheres pelo texto original e mais próximas do valor atuarialmente justo pelo texto substitutivo. Recomenda-se, ainda, o desenvolvimento, a divulgação e a revisão regular de tábuas dinâmicas oficiais (seja para a mortalidade ou outras premissas biométricas).

ABSTRACT This paper aimed to apply (dynamic and static) actuarial models to calculate the balanced contribution rates for the planned (at the minimum age) retirement benefit of the General Social Security System, based on the original and substitutive texts of the reform proposed by Michel Temer’s government. Even with the regular increases in life expectancy and the long-term nature of the analyses, national studies on social security are typically based on the static mortality hypothesis. The relevance of this study is evident due to the demographic changes, particularly the increase in life expectancy, experienced by the Brazilian population in recent decades and which put in question the sustainability of the national pension system. The use of dynamic actuarial models allows for more accurate discussions about the future of social security, besides contributing to the still scarce national literature. Static and dynamic actuarial models were applied to a representative individual, adjusting mortality tables from the United Nations covering 1950 to 2100. It was verified that the actuarially fair rates calculated by the dynamic actuarial model are typically higher than those obtained by the static model, especially for women. This difference is expected to increase as gains in life expectancy become more influenced by the reduction in mortality at more advanced ages. Moreover, if the social security reform is approved (in accordance with either the original or the substitutive text), there are indications from the dynamic model that the contributions rates currently charged would be excessive for men. In turn, these rates would be excessive for women considering the original text, and closer to the actuarially fair value considering the substitutive text. The development, disclosure, and regular updating of official dynamic tables (whether for mortality or other biometric assumptions) are also recommended.

RESUMO O objetivo deste estudo foi estabelecer limites superior e inferior para o valor presente esperado de anuidades vitalícias e seguros de vida inteira a partir de dados incompletos sobre mortalidade, generalizando resultados anteriores sobre expectativa de vida. Desde seu surgimento, no século XVII, a ciência atuarial se dedica ao estudo de anuidades e seguros. Assim, estabelecer intervalos que propiciam uma ideia inicial sobre o custo desses produtos a partir de dados incompletos sobre mortalidade representa uma contribuição teórica para a área e isso pode ter importantes aplicações em mercados sem registros históricos ou com pouca confiabilidade dos dados sobre mortalidade, bem como em mercados novos ainda pouco explorados. Foram construídos, para o caso contínuo e o discreto, limites superior e inferior para o valor presente esperado de anuidades vitalícias e seguros de vida inteira, contratados por uma pessoa de idade x, a partir de informação sobre o valor presente esperado desses respectivos produtos financeiros subscritos por uma pessoa de idade x + n e a probabilidade de um indivíduo de idade x alcançar com vida a idade x + n. Por meio dos limites de uma anuidade contínua, em um ambiente em que a taxa instantânea de juros é igual a zero, os resultados apresentados também estabelecem limites para a expectativa completa de vida, o que implica que a contribuição desta pesquisa generaliza resultados anteriores da literatura. Constatou-se, ainda, que, tanto para anuidades quanto para seguros, o tamanho dos intervalos construídos cresce com aumentos do tamanho da lacuna de dados e diminui à medida que a curva de sobrevivência se torna mais retangular. Ilustrativamente, limites para a expectativa de vida aos 40 anos e aos 60 anos, para os 10 municípios com maior expectativa de vida ao nascer no Brasil no ano de 2010, foram construídos a partir de dados disponíveis no Atlas do Desenvolvimento Humano no Brasil.

ABSTRACT This study aimed to set upper and lower bounds for the expected present value of whole life annuities and whole life insurance policies from incomplete mortality data, generalizing previous results on life expectancy. Since its inception, in the 17th century, actuarial science has been devoted to the study of annuities and insurance plans. Thus, setting intervals that provide an initial idea about the cost of these products using incomplete mortality data represents a theoretical contribution to the area and this may have major applications in markets lacking historical records or those having little reliability of mortality data, as well as in new markets still poorly explored. For both the continuous and discrete cases, upper and lower bounds were constructed for the expected present value of whole life annuities and whole life insurance policies, contracted by a person currently aged x, based on information about the expected present value of these respective financial products subscribed to by a person of age x + n and the probability that an individual of age x survives to at least age x + n. Through the bounds of a continuous annuity, in an environment where the instantaneous interest rate is equal to zero, the results shown also set bounds for the complete life expectancy, which implies that the contribution of this research generalizes previous results in the literature. It was also found that, for both annuities and insurance plans, the length of constructed intervals increases as the data gap size increases and it decreases as the survival curve becomes more rectangular. Illustratively, bounds for life expectancy at 40 and 60 years of age, for the 10 municipalities showing the highest life expectancy at birth in Brazil in 2010, were constructed by using data available in the Atlas of Human Development in Brazil.

Resumo Concluiu-se que, pela regra do fator previdenciário, as alíquotas vigentes são insuficientes para cobertura dos benefícios previdenciários, uma vez que as alíquotas atuarialmente justas são 30,69% e 35,27% para homens e mulheres, respectivamente. Contudo, caso a reforma da Previdência fosse aprovada em seu texto original, os percentuais justos seriam reduzidos para 22,25%, e 21,60%, respectivamente. Além da idade mínima, grande parte dessa redução deve-se às regras propostas para cálculo da pensão, que admitem valor abaixo do salário mínimo. Esses resultados atenderam ao objetivo deste trabalho, que foi comparar as alíquotas previdenciárias atuarialmente justas para o Regime Geral de Previdência Social, tendo como base as regras do fator previdenciário e da proposta de idade mínima, presente na Proposta de Emenda à Constituição n. 287/2016. As mudanças demográficas ocorridas no Brasil nos últimos anos chamam a atenção para a questão da sustentabilidade do sistema previdenciário nacional, e aprovar a reforma previdenciária tem sido prioridade do governo. Logo, é indiscutível a necessidade de um estudo atuarial que viesse calcular alíquotas atuarialmente justas e comparar o atual cenário com as propostas de reforma. Utilizaram-se modelos atuariais com múltiplos decrementos para o cálculo das alíquotas justas, considerando uma família padrão [funcionário(a) de 25 anos, cônjuge e dois filhos], sendo o homem três anos mais velho que a mulher. Adotaram-se como premissas biométricas as tábuas IBGE 2015 - Extrapolada (mortalidade) e Álvaro Vindas (invalidez), a taxa real de crescimento salarial de 2% a.a. e a taxa real de juros de 3% a.a.

Abstract It has been shown that under the social security factor rule current contribution rates are insufficient to cover social security benefits, since the actuarially fair rates are 30.69% and 35.27% for men and women, respectively. However, if the social security reform were approved as submitted, the fair rates would be reduced to 22.25% and 21.60%, respectively. Besides the minimum age, part of this reduction is due to the proposed rules allowing pension values lower than the minimum wage. These results served the objective of this work, which was to compare the actuarially fair social security rates for the General Social Welfare Policy (GSWP), based on the social security factor rules and the minimum age proposal present in Proposed Constitutional Amendment n. 287/2016. The demographic changes that have taken place in Brazil in recent years raise questions about the sustainability of the national social security system and approving social security reform has been a government priority. Therefore, there is an undisputed need for an actuarial study that calculates actuarially fair rates and compares the current scenario with the reform proposals. Multiple decrement actuarial models were used to calculate the fair rates considering a standard family (25-year-old worker, spouse, and two children), in which the man is three years older than the woman. The IBGE 2015 Extrapolated (mortality) and Álvaro Vindas (disability) tables were adopted as biometric assumptions, and a real wage growth rate of 2% p.a. and real interest rate of 3% p.a. were used.

Resumo Neste artigo. Nós analisamos a rede de coautoria entre todos os bolsistas de produtividade do CNPq na área de probabilidade e estatística no Brasil. Nosso objetivo foi descrever e entender como medidas da rede influenciam na produtividade dos pesquisadores. A base de dados foi coletada do Plataforma Lattes do CNPq utilizando o programa scriptLattes, e uma ligação entre dois bolsistas representa o fato deles terem escrito um artigo juntos no período de 2009 à 2013. A rede é desconexa e tem apenas 4,7% das possíveis conexões. Por meio da análise de regressão, fomos capazes de inferir que as posições de centralidade de um autor importam para a produtividade dele ou dela. Como esperado, a centralidade de proximidade teve um efeito negativo na produtividade do bolsista, enquanto a centralidade de grau teve um efeito positivo.

Abstract In this paper, we analyzed the co-authorship network between all CNPq’s productivity research fellows in the Probability and Statistics area in Brazil. Our aim was to describe and to understand how network measures influence researchers’ productivity. The data was gathered from the CNPq’s Lattes Platform using the software scriptLattes, and a link between two fellows represents the fact that they wrote an article together from 2009 to 2013. The network is disconnected and has only 4.7% of its possible connections. Through a regression analysis, we were able to infer that the centrality positions of an author matters to his/her productivity. As expected, closeness centrality had a negative effect on fellows’ productivity, while the degree centrality had a positive effect.

ABSTRACT We discuss the rationality of burning money behavior from a new perspective: the mixed Nash equilibrium in 2 × 2 normal form games. We support our argument analyzing the first-order derivatives of the players' mixed equilibrium expected utility payoffs with respect to their own utility payoffs. We establish necessary and sufficient conditions that guarantee the existence of negative derivatives. In particular, games with negative derivatives are the ones that create incentives for burning money behavior since such behavior in these games improves the player's mixed equilibrium expected utility payoff. We show that a negative derivative of some player i 's mixed equilibrium expected utility payoff occurs if, and only if, he has a strict preference for one of the strategies of the other player. Moreover, negative derivatives always occur when they are taken with respect to player i 's highest and lowest game utility payoffs. We also present sufficient conditions that ensure that such derivatives are always non-negative in finite normal form games.

In this article, we analyze how reasonable it is to play according to some Nash equilibria if players have a preference for one of their opponents' strategies. To formalize our argument, we propose the concepts of collaborative dominance and collaborative equilibrium studying some of its properties. First, we prove that if the collaborative equilibrium exists, then it is always efficient, what can be seen as a focal property. Moreover, we argue that one reason that may lead players not to collaborate is that they can focus on security instead of efficiency properties, in which case they would prefer to play according to maximin strategies. This argument allows us to reduce the hall of reasonable equilibria for games where a collaborative equilibrium exists. Finally, we show that two-player zero-sum games do not have collaborative equilibrium, and that if they contain a strategy profile composed only of collaboratively dominated actions, then such profile is a Nash equilibrium of the game.